ALGEBRA²

Menos por menos es más… ¿Seguro?

2012-02-12T15:00:00.000-08:00

Una de las “verdades” que nos enseñan en la escuela o en el colegio es que “Menos por menos es más”.

Uno anota. Piensa. No entiende. Vuelve a pensar. Sigue sin entender. Mira al compañero de al lado. Él tampoco entiende. Y de pronto se oye a la maestra o el profesor, que otra vez nos taladran con:

“Menos por menos es más”.

Uno tiene varias alternativas frente a esto. La más probable es que bloquee la mente, deje el cuerpo en el lugar, escriba como un autómata, pero en realidad ya nada más de lo que se oiga o se lea en esa habitación va a convocar su atención, al menos por un rato.

–¿Qué dijo? –dice uno preocupado.

–Dijo algo así como que… menos por menos, es más –contesta el compañero del banco de al lado.

–No entiendo –contesta el primero.

–Yo tampoco –dice el otro, pero al menos éste pudo repetir lo que había oído.

Entonces uno levanta la vista y ve en el pizarrón escrito:

Ejemplos:

(–3) · (–2) = 6

(–7) · (–3) = 21

(–15) · (–1) = 15

Y un poco más abajo, uno advierte con horror que incluso se ¡aplica a fracciones!

(–1/2) · (–6) = 3

(–9) · (–2/3) = 6

(–2/5) · (–3/4) = 3/10

El pizarrón escupe números, símbolos, igualdades, letras que invitan a abandonar todo y escapar. ¿De qué habla esta persona? Pero uno no tiene más remedio que aceptar. En la escuela o el colegio, acepta porque en general no se enseña con espíritu crítico (con las excepciones correspondientes), sin embargo aquí cabe preguntarse inmediatamente: ¿por qué?

De todas formas, el tiempo pasa, y uno termina aceptando el axioma (o lo que parece como un axioma o verdad absoluta) de que menos por menos es más, porque:

a) no le queda más remedio,

b) no se contrapone con nada de lo que uno ya sabe,

c) uno nunca necesitó usarlo en la vida cotidiana,

d) cierto o falso, no me afecta, y, por último,

e) no me interesa

Mi idea es tratar de encontrar alguna explicación de por qué es cierto que menos por menos tiene que ser más.

CASO 1

Supongamos que está manejando su auto a 40 kilómetros por hora. Si le preguntara dónde va a estar dentro de 3 horas, usted contestará: “Voy a estar a 120 kilómetros de acá”. Éste sería un ejemplo de que “más por más, es más”. O sea, aunque uno no escriba los símbolos (+) adelante, es como si estuviera diciendo:

(+40) · (+3) = (+120)

Uno representa los 40 kilómetros por hora, con (+40) y lo que “va a pasar” dentro de 3 horas, con (+3). Multiplica y tiene (+120), o sea, uno estará 120 kilómetros más adelante de donde está ahora.

Si ahora, en lugar de ir a 40 kilómetros por hora hacia adelante, empezara a manejar su auto marcha atrás a la misma velocidad (o sea, a 40 kilómetros por hora pero hacia atrás), podría preguntarle: ¿dónde va a estar dentro de 3 horas?

(–40) · (+3) = (–120)

Otra vez, si uno quiere representar en símbolos que está yendo marcha atrás, lo que hace es escribir

(–40)

Por otro lado, como uno quiere saber, otra vez, “qué va a pasar dentro de 3 horas”, usa el número (+3) para representarlo.

Es decir, si uno maneja el auto hacia atrás a 40 kilómetros por hora, dentro de 3 horas va a estar 120 kilómetros atrás del lugar del que partió. Esto corresponde –espero que se entienda con el ejemplo a que menos por más es menos.

Ahora bien, lleguemos entonces a la última pregunta (que le pido que lea con cuidado y, sobre todo, que piense sola/o la respuesta).

“Si usted viene como recién, manejando su auto a 40 kilómetros marcha atrás y yo, en lugar de preguntarle dónde va a estar dentro de 3 horas, le preguntara, ¿dónde estaba hace 3 horas? Usted, ¿qué contestaría? (Por favor, más allá de responder, trate de convencerse de que me entendió la pregunta). Ahora sigo yo: la respuesta es que uno estaba ¡más adelante! Más aún: estaba 120 kilómetros más adelante de donde está ahora.

Si sigo usando los símbolos de más arriba, tengo que escribir:

(–40) · (–3) = 120

Es decir, escribo (–40) porque estoy yendo marcha atrás, y escribo (–3) porque pregunto qué pasó hace 3 horas. Y como se advierte, uno, hace 3 horas estaba 120 kilómetros más adelante del punto donde está ahora. Y eso explica –en este caso– por qué menos por menos es más.

2011-03-07T19:56:00.000-08:00

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PROBLEMAS

2010-03-23T13:12:00.000-07:00

1.- En una extraordinaria batalla, por lo menos el 70% de los combatientes perdió un ojo; el 75% una oreja, por lo menos el 80% perdió una mano y el 85% una pierna.

¿Cuántos, por lo menos perdieron los cuatro órganos?

2.- ¿serías capaz en únicamente 15 segundos responder la siguiente pregunta?

¿que es mas grande el 36% de 67 o el 67% de 36?

3.- Tenemos una garrafa con 10 litros de agua y otra con 10 litros de vino, se echan tres litros de agua en la garrafa de vino y se mezcla, después se vuelven a echar tres litros de la mezcla en la garrafa del agua.

¿Qué habrá después del cambio, mas agua en la garrafa de vino o más vino en la garrafa del agua?

4.- La mitad de dos mas dos ¿son tres?

5.- Letras iguales, igual valor. Letras distintas, distinto valor. Cada letra vale un número de 0 a 9. La M tiene valor = 1, el resto no se

	S	E	N	D
+	M	O	R	E
-	-	-	-	-
M	O	N	E	Y

SOLUCION

2010-03-23T13:07:00.000-07:00

Esta vez me extralímite en el tiempo de espera, bueno tuvieron más tiempo para "pensar"

1.-

2.-
La suma de los porcentajes de la herencia es 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18 por lo que al hacer el reparto de los 35 caballos habrían sobrado 1/18 de estos, que es el equivalente a un caballo entero y parte de otro.

Esta parte incompleta de caballo es la que se reparte de mas entre los hermanos para que se puedan llevar caballos enteros, y el otro caballo de sobra junto con el del matemático son los dos caballos que se lleva este.

3.-

Me vais a matar lentamente.

Si es tomado como verdad habría que matarlo rápidamente, por que la respuesta sería mentira, y si se toma como tal habria que matarlo lentamente, por lo que sería verdad.

4.-

Veinte en numero romanos es XX si le agregamos un uno en el medio nos queda XIX.

PROBLEMAS

2009-12-20T13:14:00.000-08:00

1.- Un lechero tiene un cántaro de 8 litros lleno de leche, y dos mas de 5 y de 3 litros.

Un cliente le pide exactamente 4 litros.

¿Cómo puede calcular los cuatro litros y dárselos en el cántaro de 5 litros?

2.- Tres hermanos se reparten la herencia de su padre que está formada por 35 caballos y en el testamento el padre dejo escrito que el mayor se quedara con la mitad de la herencia, el mediano con la tercera parte y el mas pequeño con la novena parte

Como las divisiones no eran exactas estos no se ponían de acuerdo, por lo que decidieron consultar con un viejo matemático que les propuso lo siguiente:

Puesto que 35 caballos no se pueden dividir exactamente por la mitad, ni por la tercera parte ni por la novena, yo os regalo el mío, ahora tenéis 36 caballos por lo que los tres saldréis ganando. Tu por ser el mayor te llevaras la mitad de 36, es decir 18 caballos. Tu por ser el mediano la tercera parte, 12 caballos. Y tu por ser el pequeño según los deseos de tu padre, la novena parte, 4 caballos.

Ahora ya tenéis los tres vuestra herencia, y como 18+12+4=34 ahora sobran dos caballos, por lo que yo recupero el mío y me quedo también con el otro por resolver vuestro problema.

¿Cómo es esto posible?

3.- Un excursionista es capturado por caníbales y le dicen:

Si dices una mentira te matamos lentamente y si dices una verdad te matamos rápidamente.

¿Que dice para que no lo maten?

4.- ¿Cómo hacemos para que a veinte, agregándole uno nos dé diecinueve?

SOLUCION

2009-12-20T13:07:00.000-08:00

Bueno, internautas les he dado bastante tiempo para que pudieran descifrar los acertijos matemáticos, ahora la solución, espero que sea la que ustedes pensaron, si no es así...

5.-

El ultimo de la fila puede ver el color del sombrero de sus compañeros, si no puede saber cual es el color del suyo es porque los otros dos no son blancos, por lo que o son los dos negros o es uno de cada color.

El segundo de la fila puede ver el color del sombrero del primero y ya ha deducido lo que penso el tercero, si tampoco responde a la pregunta es porque ve que el color del primero es negro, si fuera blanco sabría que el suyo es negro.

El primero por ese mismo planteamiento deduce que su sombrero es negro.

6.-

La pregunta podria ser: ¿Sí yo le pregunto al otro guardián por qué puerta tengo que salir que me respondería?".

En el caso de que estemos hablando con el que siempre miente te diría "El otro guardián te diría que la puerta por la que debes salir es ... (la puerta falsa)".

En el caso de que le preguntes al otro te diría algo así "El otro guardián te diría que la puerta por la que debes salir es ... (la puerta falsa)

De esta manera solo deberás preguntarle a cualquiera de los dos y escoger la puerta opuesta a la que ellos te indiquen.

7.- Ponemos cuatro monedas en un platillo y otras cuatro en el otro, si la balanza se equilibra sabemos que la mas pesada esta entre la que no hemos puesto en la balanza y si no es así estará en el platillo que incline esta, ya sabemos que la moneda mas pesada esta en un grupo de cuatro, de las que ponemos dos en cada platillo, hacemos esta operación una vez mas con el grupo de las dos que inclinen la balanza y ya sabemos cual es la mas pesada.

8.- No falta ninguna peseta, tan solo hay un error de calculo, las dos pesetas del fondo no hay que sumarlas a lo pagado, sino restarlas, la operación correcta seria 9x3=27 pts pagadas 27-2=25 pts gastadas.

PROBLEMAS

2009-10-25T16:58:00.000-07:00

5.- En una mesa hay tres sombreros negros y dos blancos. Tres señores en fila india se ponen un sombrero al azar cada uno y sin mirar el color.

Se le pregunta al tercero de la fila, que puede ver el color del sombrero del segundo y el primero, si puede decir el color de su sombrero, a lo que responde negativamente.

Se le pregunta al segundo que ve solo el sombrero del primero y tampoco puede responder a la pregunta.

Por ultimo el primero de la fila que no ve ningún sombrero responde acertadamente de que color es el sombrero que tenia puesto.

¿Cuál es este color y cual es la lógica que uso para saberlo?

6.- Un prisionero esta encerrado en una celda que tiene dos puertas, una conduce a la muerte y la otra a la libertad. Cada puerta esta custodiada por un vigilante, el prisionero sabe que uno de ellos siempre dice la verdad, y el otro siempre miente. Para elegir la puerta por la que pasara solo puede hacer una pregunta a uno solo de los vigilantes.

¿Cómo puede salvarse?

7.- Tenemos doce monedas aparentemente iguales, pero una de ellas tiene un peso ligeramente superior. Usando una balanza de platillos y con solo tres pesadas encontrar la moneda diferente.

9.- Tres amigos con dificultades económicas comparten un café que les cuesta 30 pesetas, por lo que cada uno pone 10.

Cuando van a pagar piden un descuento y el dueño les rebaja 5 pesetas tomando cada uno una peseta y dejando dos en un fondo común.

Mas tarde hacen cuentas y dicen:
Cada uno ha pagado 9 pesetas asi que hemos gastado 9x3=27 pesetas que con las dos del fondo hacen 29 ¿dónde esta la peseta que falta?

SOLUCIÓN

2009-10-25T16:53:00.000-07:00

Solución al problema 38: Este problema desconcierta porque da la impresión de que uno hace algo sin hacer nada, ya que al parecer no se cogen cerezas de un cerezo donde sí las había y sin embargo tampoco se dejan.

Porque, además, esos dos hechos (que había cerezas y que al final no hay cerezas) los señala expresamente el enunciado.

No es fácil mostrar un camino que nos lleve a “cruzar el puente” (es más un problema que requiere un golpe de inspiración). La cuestión reside en que en todo momento se habla de cerezas, en plural y todo funciona si se coge una cereza (por tanto no cerezas, en plural) y se deja otra cereza (y así no se dejan cerezas).

Por tanto, para que encajen todas las piezas, al principio había sólo dos cerezas (con lo que también se cumple que había cerezas).

Solución al problema 39: Hay varias versiones de este problema, sobre todo en lo que se refiere a los datos, aunque he elegido la que yo conocí primero. En esa versión, la aparición de dos cantidades, 12 y 144 (precisamente el cuadrado de 12), desconcierta ya que uno no sabe si está pagando un aumento de las dimensiones de algo. Porque de lo que no cabe duda es de que el aumento de los artículos (cada vez se multiplica por 12) es mucho mayor que el de los precios (cada vez se añade un euro). Así, es evidente que no pagamos por unidad. La presencia del 12 hace pensar en alguna solución relacionada con docenas, pero no parecen salir las cuentas.

Pero ¿qué es lo que relaciona realmente 1, 12 y 144 con 1, 2 y 3, respectivamente? ¡Es el número de cifras de cada cantidad! Así pues, si compramos 1 o 12, no es una cantidad de nada sino que estamos comprando físicamente los números (¿recuerdas los números de metal del problema 33?). Cada número vale 1 € con lo que el 1 nos cuesta 1 €, para el 12 necesitamos dos, por lo que vale 2 €, y el 144 nos costará 3 €.

Solución al problema 40: Si uno ha resuelto problemas relacionados con series de números, sabe que siempre merece la pena comprobar algunas cosas: ¿crece (o decrece) siempre? Si lo hace, ¿es siempre de la misma forma? Si se alternan crecimientos y decrecimientos, ¿siguen también algún tipo de patrón?

0, 5, 4, 2, 9, 8, 6, 7, 3...

Observando esta serie, sí parece que existen algunas regularidades. Utilizando un lenguaje informal la serie sigue este patrón: crece, decrece, decrece, crece, decrece, decrece, crece, decrece (ahora le tocaría decrecer de nuevo que, por cierto, adelanto que sí que lo hace). Ahora bien esos crecimientos no son regulares, salvo por el hecho de que siempre la segunda “bajada” es de dos unidades.

La presencia del 0 encabezando la serie descarta que haya multiplicaciones y los descensos no parecen debidos a divisiones. ¿De qué se trata entonces? Hay dos indicios que nos pueden llevar a la solución. Uno es más fácil de detectar: no se repiten números y son todos números menores que 10. Es decir, es lo que llamamos las cifras y están todas menos el 1 (¿será el siguiente? Cumpliría el

crece, decrece, decrece...)

El otro indicio lo hemos incluido en las indicaciones, pues es menos obvio: se trata de leer la serie en voz alta. ¿Para qué? Para convertir una simple serie numérica en esto: cero, cinco, cuatro, dos, nueve, ocho, seis, siete, tres…

¡Están en orden alfabético!

Por tanto, son las cifras en orden alfabético y después de tres viene, efectivamente, uno, la única cifra que faltaba.

Solución al problema 31: Como en el ejercicio anterior la clave está en elegir las “monedas de distinto valor” necesarias para conseguir todas las longitudes de 1 a 31.

Si empezamos por el primer día, es evidente que necesitamos un trozo de 1 cm. Para el segundo podríamos añadir otro igual, pero es más rentable usar uno de 2 cm (de 3 cm ya no, ya que entonces no tendríamos para el segundo día). Combinándolos tenemos para el tercer día.

Para el cuarto ya no, por lo que elaboramos uno de 4, que combinándolos con los más pequeños, nos permitiría llegar hasta el 7.

Siguiendo el mismo razonamiento, cortaríamos uno de 8 cm, que, en combinación con los demás sería útil hasta el día 15. Y con la pieza sobrante de 16 cm podríamos realizar las otras combinaciones, ya que los demás trozos suman los 15 cm necesarios para llegar a 31 cm.

Como se ve en el esquema, el número de cortes necesario sería de cuatro, que daría lugar a los cinco trozos mencionados: 1, 2, 4, 8 y 16 cm., respectivamente.

Por cierto, que algún lector se habrá dado cuenta de que la longitud de los trozos son las distintas potencias de dos. De hecho, si escribiéramos el número en binario, nos indicaría qué trozos habría que coger. Por ejemplo 13 en binario (con 5 cifras) es 01101 por lo que de mayor a menor habría que coger el segundo trozo (8), el tercero (4) y el último (1).

PROBLEMAS

2009-09-26T12:36:00.001-07:00

Problema 38.

"A un cerezo subí

donde cerezas había.

Ni cerezas cogí

ni cerezas dejé.

¿Cuántas cerezas había?

Problema 39. Cuando fui a comprar 1 me cobraron 1 €, días después compré 12 y me pidieron 2 € así que cuando vi que necesitaba 144 preparé 3 €. ¿Qué tipo de artículos estaba comprando?

Problema 40. ¿Qué representa la siguiente secuencia?

0, 5, 4, 2, 9, 8, 6, 7, 3...

Problema 31. Un buscador de plata, que necesitaba pagar el alquiler de marzo por adelantado y no tenía dinero, le propuso a la casera pagarle con una barra de plata de 31cm, de forma que cada día le entregaría como pago un cm de barra. ¿Cuál es el mínimo número de cortes necesario que debía hacer el buscador de plata a la barra (y dónde debía hacer esos cortes) para que pudiera llevar a cabo el pago de esa forma?

SOLUCION

2009-09-20T13:34:00.000-07:00

Solución al problema 32: vamos a suponer que, al menos una de las “dos mitades” es la aritmética, es decir, el resultado de dividir un número entre 2. Si es así, ya tenemos dos “sospechosos”: 12 y 14. Para elegir al “culpable” debemos plantearnos de qué otra forma podemos considerar la mitad del número. Enseguida debe venir la idea de la mitad como cada porción que obtenemos al cortar algo en dos partes iguales. ¿Y cómo podemos partir un número?

Una forma es trazar una línea que divida el propio símbolo del número en dos mitades. Así, la mitad de 8 puede ser 0 o 3 (y no sólo 4, como probablemente pensabas).

Ahora bien, un rápido repaso a nuestros sospechosos nos permite comprobar que su “mitad” no es ninguno de los números buscados. Salvo que los expresemos de otra manera... ¡En números romanos!

Si “llevamos al laboratorio” la expresión de 12 y 14 en número romanos (respectivamente, XII y XIV,), el XIV no resiste las pruebas pero al hallar la mitad de XII... ¡obtenemos 7 en números romanos.

Solución al problema 34: Dado que sólo podemos recolocar los números y que, reorganizándolos, no hay ninguna igualdad posible, habrá que plantearse otras estrategias. Si ya has resuelto el problema anterior, dispones de una de las armas secretas: un 6 se recoloca como un 9, con lo que podríamos convertir la igualdad en:

79 = 24

Si probamos con las distintas organizaciones de las cifras, hay una que debería “encender algunas alertas”:

72 = 49

Dado que el 49 es el cuadrado de 7, sólo nos queda elevar un poco el 2 para que se convierta en un exponente y dé lugar a una igualdad correcta.

7 ² = 49

Solución al problema 37: Es imposible que al quitar cinco palillos quede un único palillo. Entonces a qué se refiere con que quede uno. Basta quitar cinco palillos estratégicamente situados y, ¿qué nos queda? ¡La palabra uno!

Homenaje a todos aquellos marinos chilenos que una vez dieron la vida por su Bandera, ¡¡¡VIVA CHILE!!!

2009-09-17T15:10:00.000-07:00

MODULO 11 o VALIDADOR DE RUT

2009-09-13T18:08:00.000-07:00

Todos los chilenos o residentes permanente de esta larga y angosta faja de tierra poseemos un número identificatorio único e irrepetible, el llamado Rol Único Tributario o RUT, la entidad estatal responsable de la generación, mantención y actualización del dichoso RUT es el Servicio de Impuestos Internos (SII).

Ahora bien, para asegurar la correcta manipulación del RUT (ya sea verbal o visual) se le añade o agrega un dígito verificador (DV) al final del mismo. ¿Cómo se obtiene el DV?, aplicando una formula aritmética llamada Módulo 11 al RUT. Existen otras alternativas para obtener el DV pero en Chile se usa el Módulo 11.

Así entonces, para verificar que un rut es correcto se debe aplicar el algoritmo del módulo 11 al número (lo que va antes del guión). Por lo tanto, si el resultado de la operación anterior coincide con el Dígito Verificador (DV) el rut es válido.

¿Se entendió?, no importa con el ejemplo se entenderá, eso espero. Antes de ir al ejemplo debo decir que el DV tiene tres (3) reglas fundamentales.

El Dígito Verificador es:

igual al resultado si éste está entre 1 y 9
K si el resultado es 10 y
0 si el resultado es 11.

Ejemplo de aplicación del Módulo 11

Dado el RUT 12 345 678-5. Llamaremos Número a 12 345 678 y Digito Verificador (DV) a 5
Tomaremos la serie numérica: 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Se multiplicará cada dígito del Número por su correspondiente en la serie numérica, la multiplicación la hacemos de derecha a izquierda, si el Número es más largo que la serie se vuelve a comenzar en 2.
Multiplicando
- 8 x 2 = 16
- 7 x 3 = 21
- 6 x 4 = 24
- 5 x 5 = 25
- 4 x 6 = 24
- 3 x 7 = 21
- 2 x 2 = 4
- 1 x 3 = 3
La suma de cada multiplicación es: 16+21+24+25+24+21+4+3 = 138
El siguiente paso es dividir este resultado en 11 (por esto se llaman módulo 11). Sólo se toma en cuenta el cuociente entero.
138 / 11 = 12 el resto es 6. ¿Dudas?, comprobemos la división (11 x 12) + 6 = 132 + 6 = 138, ¡perfecto!.
Ahora sólo nos queda restar el resto (6) a 11, lo cual es: 11 - 6 = 5
El resultado es 5
La primera regla del módulo 11 dice que es el mismo número si éste está en el rango 1-9 entonces el Digito Verificador del Número: 12 345 678 es 5, en consecuencia el RUT dado al inicio del ejemplo es CORRECTO.

Segundo Ejemplo

Ahora lo haremos un poco más rápido: Comprobar si es correcto el RUT: 4 299 006-K.

6 x 2 = 12
0 x 3 = 0
0 x 4 = 0
9 x 5 = 45 + 12 = 57
9 x 6 = 54 + 57 = 111
2 x 7 = 14 + 111 = 125
4 x 2 = 8 + 125 = 133
133 / 11 = 12 resto 1
11 - 1 = 10
La segunda regla dice: K si el resultado es 10, en consecuencia el RUT 4 299 006-K es correcto.

¿Qué es un año luz?

2009-09-05T17:10:00.000-07:00

Un año luz es una medida de distancia y no de tiempo. Mide la distancia que la luz tarda un año en recorrer. Para poner en perspectiva esto, digamos que la velocidad de la luz es de 300.000 kilómetros por segundo. El resultado de multiplicar este número por 60 (para transformarlo en minutos) es 18.000.000 km por minuto. Luego, nuevamente multiplicado por 60, lo transforma en 1.080.000.000 kilómetros por hora (mil ochenta millones de kilómetros por hora). Multiplicado por 24 resulta que la luz viajó 25.920.000.000 (25 mil millones de kilómetros en un día).

Finalmente, multiplicado por 365 días, un año luz (o sea, la distancia que la luz viaja por año) es de (aproximadamente) 9.460.000.000.000 (casi nueve billones y medio) de kilómetros.

De manera tal que cada vez que les pregunten cuánto es un año luz, ustedes, convencidos, digan que es una manera de medir una distancia (grande, pero distancia al fin) y que es de casi nueve billones y medio de kilómetros. Es lejos, vean.

PROBLEMAS

2009-09-05T17:04:00.000-07:00

Problema 32. Encontrar un número cuya mitad es seis, pero… ¡también siete!.

Problema 34. Modificar la igualdad 76 = 24 para que sea correcta recolocando los números que en ella aparecen.

Problema 37.Quitar de esta figura cinco palillos y que quede uno.

SOLUCION

2009-09-05T16:55:00.000-07:00

Solución al problema 21: Podemos, por ejemplo, llamar x al número de ovejas que tenía inicialmente el pastor que “narra el problema” y podemos llamar y a las ovejas que, inicialmente, tenía el otro. Fíjate que es importante, cuando decidimos utilizar herramientas matemáticas, definir bien las cosas ya que hay dos pastores y dos momentos en la pequeña “historia” del problema.

Una vez definidas las incógnitas, ya sólo nos queda convertir las condiciones del problema en ecuaciones:
• Si te regalo una de mis ovejas, tendrás el doble de las que yo tengo. Dicho de este modo: si el segundo pastor recibe otra oveja, ya tendrá el doble que el primer pastor con una menos.
y+1=2(x-1)

Si tú me das una de las tuyas, tendremos las mismas. O, lo que es lo mismo, si el primer pastor obtiene una oveja del segundo, ya tienen las mismas
x+1=y-1
Así, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que, después de “apretar unas tuercas” queda de esta forma:
2x – y = 3
-x + y = 2
x = 5
Aunque pueda parecer que las ecuaciones se colocan de forma poco natural en relación a las condiciones del problema, se hace de esta manera para que, al sumarlas, se anule una de las incógnitas y podamos calcular el valor de la otra, en este caso x=5.
De la segunda ecuación se desprende que y = x + 2, por tanto que y = 7

En cuanto a la resolución intuitiva, de la segunda condición, que si el primer pastor recibe una oveja del segundo llegan a tener las mismas, se puede deducir con cierta facilidad que la diferencia entre las dos cantidades es dos. Con eso, aunque se podría quizá realizar algún razonamiento con la otra condición, casi se puede solucionar el problema por tanteo.

Solución al problema 13: La clave de este problema es centrarse en el “ritmo de trabajo” del “equipo de tres gatos”. Si entre los tres han cazado tres ratones en tres horas, significa que entre los tres han cazado a un ritmo de un ratón cada hora. Por lo que si cazan a un ritmo de un ratón cada hora, esos mismos tres gatos son capaces de cazar los cien ratones en cien horas.

Solución al problema 7: si la botella cuesta 10 € más que el tapón, es que una botella es igual a un tapón más 10 €. Por tanto, si consideramos una botella más un tapón, valdrá lo mismo que 2 tapones más 10 €. Como la botella más el tapón nos ha costado en total 11 €, y equivale a 2 tapones más 10 €, los 2 tapones tienen que valer 1 € por lo que cada tapón valdrá 0,50 € y la botella 10,50 €.

A diferencia de la solución “intuitiva”, con esta se cumplen las condiciones del problema: la diferencia entre botella y tapón es 10,50 € - 0,50 € = 10 € y además el precio de una botella más el tapón es 10,50 € + 0,50 € = 11 €, tal y como pedía el enunciado.

Solución al problema 24: La clave es que si queda del día la tercera parte de las horas que han pasado, es que queda la cuarta parte del día.

Si lo que queda es la tercera parte de lo que ya ha transcurrido, es que el día completo equivale a cuatro veces el número de horas restante, es decir, queda la cuarta parte de las 24 horas, es decir, quedan 6 horas y, por tanto, son las 18 hr.

Solución al problema 27: Por supuesto, esta podría ser una trampa para apresurados (pero muy apresurados) ya que si son veinticinco colillas, y con cada cinco forma un nuevo cigarrillo, podrá formar cinco cigarrillos. Por supuesto, ese razonamiento es indiscutible, pero no suficiente.

¿Por qué? Porque, una vez que hubiera formado esos cinco nuevos cigarrillos, le quedarían cinco colillas de “nueva generación” con las que podría formar un sexto y último cigarrillo (que, ciertamente, tendría el mismo sabor que un café frío de hace tres días, pero eso es otra historia). Con lo que en total podría formar seis cigarrillos.

Más sobre números grandes: peso de un tablero de ajedrez

2009-09-02T18:08:00.000-07:00

El caso típico es el de los granitos de arroz con los que el Rey de un condado quería premiar a un súbdito que le había hecho un favor y le había salvado la vida. Cuando éste le dice que lo único que quiere es que ponga en un tablero de ajedrez un granito de arroz en el primer cuadrado, dos en el segundo, cuatro en el tercero, ocho en el cuarto, dieciséis en el quinto, treinta y dos en el sexto, y así, duplicando cada vez hasta recorrer todos los cuadraditos del tablero, el Rey descubre que no alcanzan los granitos de arroz de todo su reino (ni los de todos los reinos de los alrededores) para poder satisfacer la demanda de su “salvador”.

Vamos a actualizar un poco el ejemplo. Supongamos que en lugar de granitos de arroz ponemos pepitas de oro, de un gramo cada una. Obviamente, si el Rey se había tropezado con una dificultad terminal en el caso de los granitos de arroz, mucho peor le iría con las pepitas de oro. Pero la pregunta que quiero hacer es otra: si el Rey hubiera podido satisfacer lo que le pedían, ¿cuánto pesaría el tablero de ajedrez? Es decir, suponiendo que se pudiera poner en el tablero la cantidad de pepitas de oro queel súbdito le había indicado, ¿cómo levantarían el tablero? Y, además, si pudiera ir poniéndose en el bolsillo una pepita por segundo, ¿cuánto tardaría? Como hay 64 cuadraditos en el tablero de ajedrez, se tendrían ¡un trillón de pepitas de oro! Seguro que aquí los números vuelven a ser confusos, porque uno no tiene la más vaga idea de lo que significa “un trillón” de ningún objeto. Comparémoslo entonces con algo que nos sea más familiar. Si como dijimos antes, cada una de las pepitas pesa sólo un gramo, la pregunta es: ¿cuánto es un trillón de gramos? Esto representa un billón de toneladas. Igual es un problema, porque ¿quién tuvo alguna vez “un billón de algo”? Este peso sería equivalente a tener ¡cuatro mil millones de Boeing 777 con
440 pasajeros a bordo, su tripulación y combustible para viajar 20 horas! Y aun así, si bien avanzamos un poco, uno podría preguntarse cuánto es cuatro mil millones de algo.

¿Y cuánto tiempo tardaría uno en ponerse las pepitas de oro en el bolsillo, si uno pudiera hacerlo a una velocidad súper rápida de una pepita por segundo? Tardaría, nuevamente, ¡un trillón de segundos! Pero ¿cuánto es un trillón de segundos? ¿Cómo medirlo con algo que nos resulte familiar? Por ejemplo, basta pensar que nos llevaría más de cien mil millones de años. No sé ustedes, pero yo tengo previsto hacer otras cosas con mi tiempo.

PROBLEMAS

2009-09-02T17:54:00.000-07:00

Problema 13: Si entre tres gatos cazan tres ratones en tres horas, ¿Cuántos gatos harán falta para cazar cien ratones en 100 horas?

Problema 7: Si una botella con tapón cuesta 11 € y la botella cuesta 10 € más que el tapón, ¿cuánto cuesta la botella?

Problema 21: Un pastor le dijo a otro: si te regalo una de mis ovejas, tendrás el doble de las que yo tengo, mientras que si tú me das una de las tuyas, tendremos las mismas. ¿Cuántas ovejas tenía cada uno?

Problema 24: ¿Qué hora es, si quedan del día la tercera parte de las horas que han pasado?

Problema 27: Un fumador empedernido que estaba de vacaciones en la montaña tenía ya sólo 25 cigarrillos. Así que a partir de ese momento decidió guardar las colillas, ya que sabía que con cada 5 colillas podría formar un nuevo cigarrillo. Una vez que se quedó con las 25 colillas, ¿cuántos cigarrillos más fue capaz de fumarse?

¡¡¡SUERTE!!!

Las respuestas las tendrán Sábado 05.

SOLUCIÓN A PROBLEMAS PLANTEADOS

2009-09-02T17:42:00.000-07:00

Solución al problema 11: a poco que se trabaje un poco en este problema, enseguida surgen las fechas que giran alrededor de fin de año para conseguir introducir días entre anteayer y el año que viene.

Como lo que nos interesa es que anteayer mi prima tuviera la menor cantidad de años posible, su cumpleaños tiene que ser posterior a ese día. Por otro lado, para alargar el plazo lo más posible, nos interesa que la frase se diga ya en Enero, de forma que el año próximo sea dos más tarde de cuando tenía 19.

La frase, en resumen, se dirá el 1 de enero. Pongamos que de 2008, para centrarnos. De esta forma:

�� 30 de diciembre de 2007: aún tiene 19 años

�� 31 de diciembre de 2007: cumple 20 años.

�� 1 de enero de 2008: dice que “anteayer tenía 19 años”, lo cual es cierto

�� 31 de diciembre de 2008: cumple 21 años

�� 31 de diciembre de 2009: cumple 22 años. Con lo cual tiene sentido que el 1 de enero de 2008 diga que “el año que viene tendré 22”

Solución al problema 8: Muchas veces, quien se enfrenta a este problema trata de hacerlo dibujando un esquema en una hoja de papel y así es imposible. ¿Por qué? La gran diferencia entre el bizcocho y una pizza o la propia hoja de papel es que el bizcocho tiene volumen. Bastará realizar dos cortes clásicos en forma de cruz y un tercero que corte el bizcocho de forma transversal en dos “capas” con lo que, a cuatro partes por cada capa, obtendremos las 8 partes iguales…

Solución al problema 5: la única forma de realizarlo es formar con las seis cerillas un tetraedro que es un poliedro con cuatro caras en forma de triángulo equilátero (y con seis aristas, claro).

Solución al problema 6: Como aclarábamos en la indicación, el enunciado está perfectamente escrito. De hecho, para que el resultado fuera veintiuno se debería escribir algo así como “Cinco por cuatro, veinte, más uno, veintidós”.

En este caso cuatro veinte equivale a cuatro con veinte, 4,20 (de hecho así suele expresarse cuando hablamos de una cantidad de dinero). De esta forma:

5 x 4,20 = 21 y 21 + 1 = 22.

Solución al problema 12: la trampa de este problema se encuentra en la expresión “dividir entre 1/2" que es muy diferente a “dividir entre 2”.

Si es necesario, echa mano de la calculadora para comprobar que si bien 30:2=15, por el contrario si quieres operar 30:1/2 =60 (con la calculadora es más cómodo dividir 30:0,5, aunque a poco que recuerdes las fracciones 30:1/2 equivale, multiplicando “en cruz” a 60/1= 60).

Por tanto el resultado final del problema sería:

60 + 10 = 70

PROBLEMAS

2009-08-30T14:30:00.000-07:00

Problema 11: “¡Cómo pasa el tiempo! -dijo mi prima, anteayer yo tenía 19 años y ya el año próximo tendré 22”. ¿Es posible lo que me dijo?

Problema 8: Un anfitrión quiere cortar un bizcocho de forma circular en ocho partes iguales. Su hija dice que basta con tres cortes rectos. ¿Es posible? ¿Cómo?

Problema 5: ¿Cómo se pueden formar cuatro triángulos iguales con sólo seis cerillas?

Problema 6: Cinco por cuatro veinte más uno veintidós. Y además el cálculo es correcto. ¿Por qué?

Problema 12: ¡Rápido!, si divides 30 entre 1/2 y al resultado le sumas 10, ¿cuánto da?

Las respuestas a estas interrogantes las daré a conocer el miércoles 02 de Septiembre, así que por favor traten de buscar el resultado que ustedes creen que es, ¡¡¡Suerte!!!

José

EL IDIOMA DEL ALGEBRA

2009-08-29T18:40:00.000-07:00

El arte de plantear ecuaciones.

El idioma del álgebra es la ecuación. "Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del español u otra lengua al idioma algebráico", escribió Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal. Isaac Newton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la traducción. He aquí uno de ellos:

La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación a base de los datos de un problema suele ser más difícil. Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir "la lengua vernácula a la algebraíca". Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fácil traducción. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad, como pueden convencerse a la vista de los ejemplos de ecuación de primer grado expuestos.

MATEMÁTICA… ¿ESTÁS AHÍ?

2009-08-29T17:45:00.000-07:00

Hay libros que duran un día, y son buenos. Hay otros que duran un año, y son mejores. Hay los que duran muchos años, y son muy buenos. Pero hay los que duran toda la vida: esos son los imprescindibles. Y este libro es uno de los que duran toda la vida:

"Un cofre del tesoro que, al abrirse, nos inunda de preguntas y enigmas, de números que de tan grandes son infinitos (y distintos infinitos), de personajes que uno querría tener enfrente en una charla de amigos..."

Enlace: http://www.megaupload.com/?d=14JRO46X